18. Модель оболочек.

Предпосылки оболочечной модели:

Эксперимент подтверждает существование в ядрах нуклонных оболочек.

Оболочечная модель без учета спин-орбитального взаимодействия: квант-меха-я схема, выбор одночастичных потенциалов, энергетические спектры нуклонов, магические числа.

Нуклоны считаются движущимися независимо друг от друга в самосогласованном поле, создаваемом остальными нуклонами. Реальное взаимодействие всегда можно представить как сумму самосогласованного и некоторого остаточного взаимодействия, ко-е считается малым. При допущении о доминировании самосогласованного поля задача многих тел сводится к задаче об одной частице, движущейся в этом поле, кот-му соответствует некоторый потенциал.

Гамильтониан атомного ядра можно записать в виде:   Сл-но, каждый нуклон м/б описан своей волновой ф-цией:

  - определитель Слетера

Решив ур-я Шрёдингера для нуклона, получим систему связанных состояний, кот-ым будут соответствовать определённые уровни энергии. Эти уровни группируются в оболочки. Оболочка - совокупность близких по энергии уровней. В оболочечной модели магическими ядрами являются ядра, у кот-ых заполнены либо протонные, либо нейтронные оболочки и резко возрастает энергия отделения нуклонов (а установление существования магических явилось главной предпосылкой к созданию данной модели).

Самосогласованный ядерный (вигнеровский) потенциал  вследствие короткодействия ядерных сил должен приближённо иметь радиальную зависимость как и плотность ядерного вещества. Для средних и тяжёлых ядер он примерно постоянен внутри ядра и быстро, но плавно, спадает до нуля в области ядерной границы.(предельным случай – бесконечно глубокая яма) – потенциал Вудса-Саксона (W-S): ,  ,  Для лёгких ядер потенциал по форме близок к осцилляторному:  ,  Перепишем волн. ф-ции нуклонов в сферич-х коорд-тах, тогда ур-е Ш.:

,   где  - орбитальный момент, nглавное квантовое число.  , где  (l=0,1,2,3,4,5,6,7 с обозначениями s,p,d,f,g,h,I,j), всего 2l+1 (кратность вырождения) Состояния обозначаются: (nl) (напр. 1s, 2p,…) Уровни группируются оболочками с просветами

Магические числа

Гармонический осциллятор

2

8

20

40

70

112

168

Потенциал Вудса-Саксона W-S

2

8

20

40

70

92

138

Бесконечно глубокая яма

2

8

20

34

50

92

132

Учет спин-орбитального взаимодействия: расщепление энергетических уровней и порядок их расположения; магические числа; нуклонные конфигурации и их обозначения.

Ядерный гамильтониан зависит от взаимной ориентации спинового и орбитального моментов количества движения нуклонов. Нуклон притягивается к ядру сильнее, когда его спин сонаправлен орбитальному моменту. , где - вигнеровский потенциал, -орб. момент,  - спин. момент, - потенциал с учётом спин.-орб. взаимодействия.  - полный момент (,  ),

Классификация ядерных энергетических уровней. Состояние нуклона характеризуется квантовыми числами ( n, l, j) и энергией  Число n=1,2,3,… - определяет уровень (математически n связано с числом узлов радиальной волн. ф-ции). При увеличении n растёт среднее расстояние нуклона от центра ядра.

Проекции полного момента:  всего (2j+1) значений.

Из квантовой механики -диагональный элемент от возмущения (1ая поправка к энергии).  пропорциональна . , , где соб ственные значения для , , , ,

,

Уровень с  поднимается по отношению к невозмущённому уровню, а уровень с  - опускается. Энергетический зазор между этими двумя уровнями – порядка нескольких МэВ, и  При  уровни расщепляются. Правила заполнения ядерных оболочек: 1) энергия уровня резко растёт с увеличением n, из-за быстрого убывания самосогласованного потенциала с расстоянием, кот-е растёт с ростом n; 2) энергия уровня падает с ростом l за счёт увеличения кинетической центробежной энергии; 3) за счёт спин-орбитального взаимодействия уровни с одинаковыми n и l  расщепляются, причём величина расщепления пропорциональна l 

Оболочные уровне нуклона в ядре обозначают  (напр. , ). Или так , где k – число нуклонов( при k<0 – дырочное состояние).

Например для :